清宮線（Seimiya's Line）

清宮線（Seimiya's Line）
設P、Q為三角形ABC外接圓上異於A、B、C的兩點，P點關於三邊BC、CA、AB的對稱點分別為U、V、W，且QU、QV、QW和邊BC、CA、AB所在直線交點分別為D、E、F，則D、E、F三點共線。

pf：
∵∠PBU=2∠PBD=2∠PAC=∠PAV且∠QBP=∠QAP∴∠QBU=∠QBP+∠PBU=∠QAP+∠PAV=∠QAV
＝> △QBU/△QAV=(BQ*BU)/(AQ*AV)= (BQ*BP)/(AQ*AP)
同理△QCV/△QBW=(CQ*CP)/(BQ*BP)，△QAW/△QCU=(AQ*AP)/(CQ*CP)
故(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)
=(△QAW/△QBW)*(△QBU/△QCU)*(△QCV/△QAV)
=(△QAW/△QCU)*(△QCV/△QBW)*(△QBU/△QAV)
=[(AQ*AP)/(CQ*CP)]*[(CQ*CP)/(BQ*BP)]*[(BQ*BP)/(AQ*AP)]=1
由孟氏定理知D、E、F三點共線。

九點圓（Nine-Point Circle）

九點圓（Nine-Point Circle）：
三角形三邊的中點、三高的垂足、三頂點和垂心連線段的中點，此九點共圓（此圓稱為九點圓（Nine-Point Circle）或歐拉圓（Euler's Circle）或費爾巴哈圓（Feuerbach's Circle））。

九點圓的性質：
1. 三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半；
2. 九點圓的圓心在歐拉線（Euler Line）上，且恰為垂心與外心連線的中點；
3. 費爾巴哈定理（Feuerbach's Theorem）：三角形的九點圓與三角形的內切圓及三個旁切圓均相切。
4. 平面上任給四點A、B、C、D，則△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的九點圓共點。

歐拉線（Euler Line）

歐拉線（Euler Line）：
設△ABC的外心、重心、垂心分別為O、G、H，則O、G、H三點共線（此線稱為歐拉線（Euler Line）），且OG=GH/2。

萊莫恩線（Lemoine Line）

萊莫恩線（Lemoine Line）： 過△ABC三個頂點A、B、C作其外接圓的切線，分別和三邊BC、CA、AB的延長線交於A'、B'、C'，則A'、B'、C'三點共線（此線稱為萊莫恩線（Lemoine Line））。

斜西姆松線（Oblique Simson Line, Carnot）

斜西姆松線（Oblique Simson Line, Carnot）：西姆松線的推廣
若一點P在△ABC的外接圓上，從P向三邊BC、CA、AB所在直線分別引線段PA'、PB'、PC'成同向等角，則三交點A'、B'、C'共線。（此線稱為斜西姆松線（Oblique Simson Line））。

pf：連PA、PB
　　∵∠PC'B=∠PA'B，∠PA'B=∠PB'A
　　∴P、C'、A'、B四點共圓，P、B'、C、A'四點共圓
　　得∠PC'A'+∠PC'B'
　　=∠PC'A'+∠PAB'（∵P、B'、A、C'四點共圓）
　　=∠PC'A'+∠PBA'（∵P、A、C、B四點共圓）
　　=π（∵P、C'、A'、B四點共圓）
　　故A'、B'、C'三點共線。

西姆松線（Simson Line）

西姆松線（Simson Line）： 一點在三角形的外接圓上的充要條件為此點到三角形三邊所在直線的垂足共線（此線稱為西姆松線（Simson Line））。

奈格爾點（Nagel Point）

奈格爾點（Nagel Point）：

△ABC的三個旁切圓在三邊BC、CA、AB上的切點分別為D、E、F，則AD、BE、CF三線共點（此點稱為△ABC的奈格爾點（Nagel Point））。

葛爾剛點（Gergonne Point）

葛爾剛點（Gergonne Point）： △ABC的三邊BC、CA、AB分別與其內切圓相切於D、E、F，則AD、BE、CF三線共點（此點稱為△ABC的葛爾剛點（Gergonne Point））。

孟氏定理（Menelaus' Theorem）

孟氏定理（Menelaus' Theorem）：
△ABC中，設D、E、F分別為直線BC、CA、AB上一點，則D、E、F三點共線的充要條件為(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1。

西瓦定理（Ceva's Theorem）

西瓦定理（Ceva's Theorem）： △ABC中，設D、E、F分別為BC、CA、AB上一點，則AD、BE、CF三線共點的充要條件為(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1。