清宮線（Seimiya's Line）

清宮線（Seimiya's Line）
設P、Q為三角形ABC外接圓上異於A、B、C的兩點，P點關於三邊BC、CA、AB的對稱點分別為U、V、W，且QU、QV、QW和邊BC、CA、AB所在直線交點分別為D、E、F，則D、E、F三點共線。

pf：
∵∠PBU=2∠PBD=2∠PAC=∠PAV且∠QBP=∠QAP∴∠QBU=∠QBP+∠PBU=∠QAP+∠PAV=∠QAV
＝> △QBU/△QAV=(BQ*BU)/(AQ*AV)= (BQ*BP)/(AQ*AP)
同理△QCV/△QBW=(CQ*CP)/(BQ*BP)，△QAW/△QCU=(AQ*AP)/(CQ*CP)
故(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)
=(△QAW/△QBW)*(△QBU/△QCU)*(△QCV/△QAV)
=(△QAW/△QCU)*(△QCV/△QBW)*(△QBU/△QAV)
=[(AQ*AP)/(CQ*CP)]*[(CQ*CP)/(BQ*BP)]*[(BQ*BP)/(AQ*AP)]=1
由孟氏定理知D、E、F三點共線。