高一數學挑戰題徵答（第九期）

1. 設< F(n) >為費氏數列（Fibonacci Sequence），即F(1)=F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2), n >= 3，證明以下恆等式：（每小題5分）
　 (1) F(1)+F(2)+F(3)+...+F(n)=F(n+2)-1
　 (2) [F(1)]^2+[F(2)]^2+[F(3)]^2+...+[F(n)]^2=F(n)F(n+1)
　 (3) F(1)+F(3)+F(5)+...+F(2n-1)=F(2n), F(2)+F(4)+F(6)+...+F(2n)=F(2n+1)-1
　 (4) [F(n+1)]^2-F(n)F(n+2)=(-1)^n

高一數學挑戰題徵答（第八期）

1. 設ABCD為一任意凸四邊形，P,Q,R,S分別是以AB,BC,CD,DA為一邊向外作的正方形的中心，
證明：PR=QS，PR⊥QS。

2. 設多項式f(x)=a(0)+a(1)x+a(2)x^2+...+a(n)x^n的係數滿足0 <= a(i) <= a(0) (i=1,2,...,n)，令[f(x)]^2=b(0)+b(1)x+b(2)x^2+...+b(n+1)x^(n+1)+...+b(2n)x^(2n)，證明：b(n+1) <= (1/2)[f(1)]^2。

高一數學挑戰題徵答（第七期）

1. 證明任意四面體其中任三面的面積和必大於第四面面積。

2. 平面上，在任一三角形三邊的外側各作一正三角形，證明此三正三角形的重心所成的三角形為正三角形。

高一數學挑戰題徵答（第六期）

1. 設a,b為兩相異正實數，令Q=√[(a^2+b^2)/2], A=(a+b)/2, G=√(ab), H=2ab/(a+b)
　 證明：(1) Q > A > G > H　(4分)
　　　　(2) A-G > Q-A > G-H　(6分)

2. (1) 設a為大1的實數，證明：lim(n→∞)[a^(1/n)]=1　(4分)
　 (2) 證明：lim(n→∞)[n^(1/n)]=1　(6分)

高一數學挑戰題徵答（第五期）

1. 試求所有可能的有理數x，使得9x^2+23x-2之值恰為兩個連續正偶數的乘積。【97年北市高中數學能力競賽筆試試題】

2. 求級數4/(1*2*3)+5/(2*3*4)+...+(n+3)/[n(n+1)(n+2)]之和。

高一數學挑戰題徵答（第四期）

1. 設< a(n) >為等差數列，其前n項和為S(n)，試證明：
　 (1) S(3n)=3[S(2n)-S(n)]
　 (2) 若S(m)=S(n), m=\=n，則S(m+n)=0
　 (3) 若S(m)=n, S(n)=m, m=\=n，則S(m+n)=-(m+n)

2. 數列< a(n) >定義為a(k)=1/(k^2+k)，設m,n(m < n)為正整數滿足a(m+1)+a(m+2)+...+a(n)=1/7，求m+n的值。

高一數學挑戰題徵答（第三期）

1. (1) 證明：質數有無窮多個。　(4分)
　 (2) 證明：形如4n+3 的質數有無窮多個。　(6分)

2. 設 a, b, c 為整數 ，證明：
　 (1) ax+by=c有整數解 (x, y) 的充要條件為 (a, b)|c 。　(4分)
　 (2) 若(x0, y0)是 ax+by=c 之一組整數解，則其一般解為
　　　┌ x = x0 + [ b / (a, b)] t , t為整數　(6分)
　　　└ y = y0 - [a / (a, b)] t